2012年中考數學(xué)基礎知識要點(diǎn)總結

實(shí)數

  ⑴ 數軸的三要素為      、       和        . 數軸上的點(diǎn)與     構成一一對應.

  ⑵ 實(shí)數 的相反數為________. 若 ， 互為相反數，則 =     .

  ⑶ 非零實(shí)數的倒數為______. 若 ， 互為倒數，則 =        .

  ⑷ 絕對值 ．

  ⑸ 科學(xué)記數法：把一個(gè)數表示成        的形式，其中1≤＜10的數，n是整數.

⑹ 一般地，一個(gè)近似數，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數精確到哪一位.這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是    的數起，到           止，所有的數字都叫做這個(gè)數的有效數字．

練習：（略）

 

數的開(kāi)方

⑴ 任何正數 都有______個(gè)平方根,它們互為________.其中正的平方根 叫_______________.        沒(méi)有平方根，0的算術(shù)平方根為______.

⑵ 任何一個(gè)實(shí)數都有立方根，記為          .

⑶  。

3. 實(shí)數的分類(lèi):           和              統稱(chēng)實(shí)數.

4．      （其中    0 且 是         ）        （其中    0）

練習：（略）

 

整式

（1）單項式：由數與字母的        組成的代數式叫做單項式（單獨一個(gè)數或         也是單項式）.單項式中的          叫做這個(gè)單項式的系數；單項式中的所有字母的             叫做這個(gè)單項式的次數.

(2) 多項式：幾個(gè)單項式的       叫做多項式.在多項式中，每個(gè)單項式叫                 做多項式的       ,其中次數最高的項的         叫做這個(gè)多項式的次數.不含字母的項叫做          .

(3) 整式：             與           統稱(chēng)整式.

4. 同類(lèi)項：在一個(gè)多項式中，所含       相同并且相同字母的       也分別相等的項叫做同類(lèi)項. 合并同類(lèi)項的法則是                          ___.

5. 冪的運算性質(zhì): a^m·aⁿ=     ； (a^m)ⁿ=     ； a^m÷aⁿ＝_____； (ab)ⁿ=     .

練習：（略）

 

因式分解

1. 因式分解：就是把一個(gè)多項式化為幾個(gè)整式的     的形式．分解因式要進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止．

2. 因式分解的方法：⑴              ，⑵               ， ⑶              .

3. 提公因式法： __________   _________.

4. 公式法: ⑴               

 ⑵        ，

           ⑶                 .

5. 十字相乘法：                    ．

6．因式分解的一般步驟:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．

7．易錯知識辨析

（1）注意因式分解與整式乘法的區別；

（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不僅表示一個(gè)數，還可以表示單項式、多項式.

練習：

1．簡(jiǎn)便計算： .

2．分解因式： ____________________.

3．分解因式： ____________________.

4．分解因式： ____________________.

5.分解因式            ．

6．將 分解因式的結果是        ．

 

 

分式

1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有      ，那么稱(chēng) 為分式．若       ，則 有意義；若      ，則 無(wú)意義；若      ，則 ＝0.

2．分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的               ．用式子表示為                        .

3. 約分：把一個(gè)分式的分子和分母的    約去，這種變形稱(chēng)為分式的約分．

4．通分：根據分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化為          的分式，這一過(guò)程稱(chēng)為分式的通分.

例1：（1） 當x            時(shí)，分式 無(wú)意義；

     （2）當x           時(shí)，分式 的值為零.

例2：⑴  已知 ，則  ＝          .

      ⑵已知 ，則代數式的值為       .

例3：先化簡(jiǎn)，再求值：

(1)（ － ）÷ ，其中x＝1．

   ⑵ ，其中 .

練習：（略）

 

二次根式

1．二次根式的有關(guān)概念

⑴式子   叫做二次根式．注意被開(kāi)方數只能是       ．并且根式.

⑵簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)方數所含因數是     ，因式是     ，不含能            的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．

(3)同類(lèi)二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數           的幾個(gè)二次根式，叫做同類(lèi)二次根式．

2．二次根式的性質(zhì)：

⑴          0；

⑵         （ ≥0）；            ；

⑶            （）；  

⑷             （）.

練習：（略）

 

 

方程（組）和不等式

（1）判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化簡(jiǎn)后滿(mǎn)足只含有一個(gè)未知數，并且未知數的次數是1，系數不等于0的方程，像， 等不是一元一次方程.

（2）解方程的基本思想就是應用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行轉化，要注意：①方程兩邊不能乘以（或除以）含有未知數的整式，否則所得方程與原方程不同解；②去分母時(shí)，不要漏乘沒(méi)有分母的項；③解方程時(shí)一定要注意“移項”要變號.

例1：當 取什么整數時(shí)，關(guān)于 的方程 的解是正整數？

例2：解下列方程：

；            （2） .

例3：解下列方程組：

（1）                  （2）

例4：某廠(chǎng)工人小王某月工作的部分信息如下：

信息一：工作時(shí)間：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25天；

信息二：生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并且按規定每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品的件數不少于60件．

生產(chǎn)產(chǎn)品件數與所用時(shí)間之間的關(guān)系見(jiàn)下表：

生產(chǎn)甲產(chǎn)品件數（件）	生產(chǎn)乙產(chǎn)品件數（件）	所用總時(shí)間（分）
10	10	350
30	20	850

信息三：按件計酬，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可得1.50元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可得2.80元．根據以上信息，回答下列問(wèn)題：

（1）小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分？

（2）小王該月最多能得多少元？此時(shí)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別多少件？

例5：某同學(xué)在A、B兩家超市發(fā)現他看中的隨身聽(tīng)的單價(jià)相同，書(shū)包單價(jià)也相同，隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，且隨身聽(tīng)的單價(jià)比書(shū)包單價(jià)的4倍少8元.

① 求該同學(xué)看中的隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)各是多少元？

② 某一天該同學(xué)上街，恰好趕上商家促銷(xiāo)，超市A所有商品打八折銷(xiāo)售，超市B全場(chǎng)購物滿(mǎn)100元返購物券30元銷(xiāo)售（不足100元不返券，購物券全場(chǎng)通用），但他只帶了400元錢(qián)，如果他只在一家超市購買(mǎi)看中的這兩樣物品，你能說(shuō)明他可以選擇哪一家購買(mǎi)嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買(mǎi)更省錢(qián)？

 

 

一元二次方程的常用解法

（1）直接開(kāi)平方法：形如 或的一元二次方程，就可用直接開(kāi)平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步驟是：①化二次項系數為1，即方程兩邊同時(shí)除以二次項系數；②移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項，③配方，即方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，④化原方程為的形式，⑤如果是非負數，即 ，就可以用直接開(kāi)平方求出方程的解.如果n＜0，則原方程無(wú)解.

（3）公式法：一元二次方程的求根公式是

.

（4）因式分解法：因式分解法的一般步驟是：①將方程的右邊化為       ；②將方程的左邊化成兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式都等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.

例1：選用合適的方法解下列方程：

（1） ；             

（2） ；

（3） ；             

（4） .

例2：已知一元二次方程 有一個(gè)根為零，求 的值.

練習：（略）

 

 

一元二次方程根的判別式

關(guān)于x的一元二次方程的根的判別式為           .

（1） >0一元二次方程 有兩個(gè)      實(shí)數根，即               .

（2） =0一元二次方程有      相等的實(shí)數根，即        .

（3） <0一元二次方程        實(shí)數根.

例1：解方程會(huì )出現的增根是（     ）

A．        B.       C.或   D.

例2：如果分式與 的值相等,則 的值是(     )

A．9          　B． 7          C．5               D．3

例3：如果，則下列各式不成立的是（     ）

A．    B．   C．         D．

例4：若分式的值為0，則x的值為（   ）

A. 1            B. -1        C. ±1            D.2

例5：在2008年春運期間，我國南方出現大范圍冰雪災害，導致某地電路斷電.該地供電局組織電工進(jìn)行搶修.供電局距離搶修工地15千米.搶修車(chē)裝載著(zhù)所需材料先從供電局出發(fā)，15分鐘后，電工乘吉昔車(chē)從同一地點(diǎn)出發(fā)，結果他們同時(shí)到達搶修工地．已知吉普車(chē)速度是搶修車(chē)速度的1.5倍，求這兩種車(chē)的速度.

例6：某中學(xué)庫存960套舊桌凳，修理后捐助貧困山區學(xué)校．現有甲、乙兩個(gè)木工小組都想承攬這項業(yè)務(wù)．經(jīng)協(xié)商后得知：甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天；乙小組每天比甲小組多修8套；學(xué)校每天需付甲小組修理費80元，付乙小組120元．

（1）求甲、乙兩個(gè)木工小組每天各修桌凳多少套．

（2）在修理桌凳過(guò)程中，學(xué)校要委派一名維修工進(jìn)行質(zhì)量監督，并由學(xué)校負擔他每天10元的生活補助．現有以下三種修理方案供選擇：

 ① 由甲單獨修理；② 由乙單獨修理；③ 由甲、乙共同合作修理．

你認為哪種方案既省時(shí)又省錢(qián)？試比較說(shuō)明．

練習：

1．若關(guān)于 方程 無(wú)解，則的值是           ．

2.分式方程的解是          ．

3.以下是方程去分母、去括號后的結果，其中正確的是（　�。�

A．    B.    C.    D.

4．分式方程 的解是（    ）

A．           B．           C．                D．

5.分式方程  的解是（　�。�

A. ,           B. ,

C. ,       D.  

6.今年五月，某工程隊(有甲、乙兩組)承包人民路中段的路基改造工程，規定若干天內完成．

   (1) 已知甲組單獨完成這項工程所需時(shí)間比規定時(shí)間的2倍多4天，乙組單獨完成這項工程所需時(shí)間比規定時(shí)間的2倍少16天．如果甲、乙兩組合做24天完成，那么甲、乙兩組合做能否在規定時(shí)間內完成?

(2) 在實(shí)際工作中，甲、乙兩組合做完成這項工程的 后，工程隊又承包了東段的改造工程，需抽調一組過(guò)去，從按時(shí)完成中段任務(wù)考慮，你認為抽調哪一組最好？請說(shuō)明理由．

 

 

 

 

不等式的基本性質(zhì)

（1）若 ＜ ，則 +    ；

（2）若 ＞ ， ＞0則    （或     ）；

（3）若 ＞ ， ＜0則    （或      ）.

例1：1．不等式組的解集在數軸上表示為（     ）

 

1

0

2

A．

1

0

2

B．

1

0

2

C．

1

0

2

D．

 

 

 

2．解不等式組

3．解不等式組 ，并把它的解集表示在數軸上．

例2：綿陽(yáng)市“全國文明村”江油白玉村果農王燦收獲枇杷20噸，桃子12噸．現計劃租用甲、乙兩種貨車(chē)共8輛將這批水果全部運往外地銷(xiāo)售，已知一輛甲種貨車(chē)可裝枇杷4噸和桃子1噸，一輛乙種貨車(chē)可裝枇杷和桃子各2噸．

（1）王燦如何安排甲、乙兩種貨車(chē)可一次性地運到銷(xiāo)售地？有幾種方案？

（2）若甲種貨車(chē)每輛要付運輸費300元，乙種貨車(chē)每輛要付運輸費240元，則果農王燦應選擇哪種方案，使運輸費最少？最少運費是多少？

例3：某商店需要購進(jìn)一批電視機和洗衣機，根據市場(chǎng)調查，決定電視機進(jìn)貨量不少于洗衣機的進(jìn)貨量的一半．電視機與洗衣機的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

計劃購進(jìn)電視機和洗衣機共100臺，商店最多可籌集資金161 800元．

（1）請你幫助商店算一算有多少種進(jìn)貨方案？（不考慮除進(jìn)價(jià)之外的其它費用）

（2）哪種進(jìn)貨方案待商店銷(xiāo)售購進(jìn)的電視機與洗衣機完畢后獲得利潤最多？并求出最多利潤．（利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)）

【中考演練】

1．

用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著(zhù)鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越來(lái)越大．當未進(jìn)入木塊的釘子長(cháng)度足夠時(shí)，每次釘入木塊的釘子長(cháng)度是前一次的．已知這個(gè)鐵釘被敲擊3次后全部進(jìn)入木塊（木塊足夠厚），且第一次敲擊后鐵釘進(jìn)入木塊的長(cháng)度是2cm,若鐵釘總長(cháng)度為acm，則a的取值范圍是               ．

2．海門(mén)市三星鎮的疊石橋國際家紡城是全國最大的家紡專(zhuān)業(yè)市場(chǎng)，年銷(xiāo)售額突破百億元．2005年5月20日，該家紡城的羽絨被和羊毛被這兩種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)如下表：

現購買(mǎi)這兩種產(chǎn)品共80條，付款總額不超過(guò)2萬(wàn)元．問(wèn)最多可購買(mǎi)羽絨被____條．

3．6月1日起，某超市開(kāi)始有償提供可重復使用的三種環(huán)保購物袋，每只售價(jià)分別為1元、2元和3元，這三種環(huán)保購物袋每只最多分別能裝大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在該超市選購了3只環(huán)保購物袋用來(lái)裝剛買(mǎi)的20公斤散裝大米，他們選購的3只環(huán)保購物袋至少應付給超市         元．

4.某校九年級三班為開(kāi)展“迎2008年北京奧運會(huì )”的主題班會(huì )活動(dòng)，派了小林和小明兩位同學(xué)去學(xué)校附近的超市購買(mǎi)鋼筆作為獎品，已知該超市的錦江牌鋼筆每支8元，紅梅牌鋼筆每支4.8元，他們要購買(mǎi)這兩種筆共40支．

(1)如果他們一共帶了240元，全部用于購買(mǎi)獎品，那么能買(mǎi)這兩種筆各多少支？

(2)小林和小明根據主題班會(huì )活動(dòng)的設獎情況，決定所購買(mǎi)的錦江牌鋼筆數量要少于紅梅牌鋼筆的數量的，但又不少于紅梅牌鋼筆的數量的 .如果他們買(mǎi)了錦江牌鋼筆 支，買(mǎi)這兩種筆共花了元，

① 請寫(xiě)出  (元)關(guān)于  (支)的函數關(guān)系式，并求出自變量 的取值范圍；

② 請幫他們計算一下，這兩種筆各購買(mǎi)多少支時(shí)，所花的錢(qián)最少，此時(shí)花了多少元？

5.某汽車(chē)租賃公司要購買(mǎi)轎車(chē)和面包車(chē)共10輛，其中轎車(chē)至少要購買(mǎi)3輛，轎車(chē)每輛7萬(wàn)元，面包車(chē)每輛4萬(wàn)元，公司可投入的購車(chē)款不超過(guò)55萬(wàn)元；

（1）符合公司要求的購買(mǎi)方案有幾種？請說(shuō)明理由；

（2）如果每輛轎車(chē)的日租金為200元，每輛面包車(chē)的日租金為110元，假設新購買(mǎi)的這10輛車(chē)每日都可租出，要使這10輛車(chē)的日租金不低于1500元，那么應選擇以上那種購買(mǎi)方案？

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